基本线性代数

行列式

行列式(Determinant)，记作det(A)或者|A|，行列式一开始提出来是为了解线性方程组，在矩阵概念的引入后使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。

定义

行列式是一个n*n的数组成的数表，其中数有n列n行，表示为

被称为n阶行列式

行列式的值是一个标量，他是由标量运算所定义的。如一个二阶行列式按照行列式的定义写成

$$ \begin{array}{c} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c &d\end{vmatrix} = ad-cb \end{array} $$

一个三阶行列式按照行列式的定义写成

$$ \begin{array}{c} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{vmatrix} = aei+bfg+dhc-ceg-bdi-hfa \end{array} $$

在我们给出行列式的定义之前先介绍一下排列与逆序数

排列

排列就是由1,2,3,...,n这n个自然数的任意组合.

如1,3,2,4是一个4级排列

1,3,4并不是一个排列，缺少了2这个自然数

逆序数

一个按照1,2,3,...,n顺序组成的排列叫做自然顺序排列，其逆序数为0

按照n,n-1,n-2,....1顺序组成的排列叫做逆序排列，其逆序数为n(n-1)/2

一个4级排列1,3,4,2的逆序数为2

$$ \begin{array}{c} 一般用\sigma (p_1p_2p_3...p_n)表示p_1p_2p_3...p_n这个排列的逆序数 \end{array} $$

n阶行列式的定义

一个n阶行列式按照行列式的定义写成

$$ \begin{array}{c} det(A)= \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &...\\ a_{n1} &a_{n2} &... &a_{nn} \\ \end{vmatrix}= \sum_{p_1p_2p_3...p_n}^{} sgn(\sigma)a_{1p_1} a_{2p_2} a_{3p_3}... a_{np_n} \\ 其中p_1p_2p_3...p_n为任意一个n级排列\\ sgn是符号函数具体是sgn(x)=\begin{cases} -1 &x>0\\ 0 & x=0\\ 1 &x>0 \end{cases} \end{array} $$

行列式的性质

这里介绍常用的三个

性质1：把行列式上某两列或者某两行交换位置，行列式变为原来的相反数。

$$ \begin{array}{c} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... \\ a_{i1} &a_{i2} &... &a_{in} \\ ... &... &... &... \\ a_{j1} &a_{j2} &... &a_{jn} \\ ... &... &... &... \\ a_{n1} &a_{n2} &... &a_{nn} \\ \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... \\ a_{j1} &a_{j2} &... &a_{jn} \\ ... &... &... &... \\ a_{i1} &a_{i2} &... &a_{in} \\ ... &... &... &... \\ a_{n1} &a_{n2} &... &a_{nn} \\ \end{vmatrix} \end{array} $$

性质2：行列式上某行或者某列上存在公倍数可以提到行列式外面去。

$$ \begin{array}{c} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &...\\ ka_{i1} &ka_{i2} &... &ka_{in} \\ ... &... &... &...\\ a_{n1} &a_{n2} &... &a_{nn} \\ \end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &...\\ a_{i1} &a_{i2} &... &a_{in} \\ ... &... &... &...\\ a_{n1} &a_{n2} &... &a_{nn} \\ \end{vmatrix} \end{array} $$

性质3：把行列式上某行(列)的值乘一个倍数加到另一行(列)上去行列式的值不变。

$$ \begin{array}{c} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... \\ a_{i1} &a_{i2} &... &a_{in} \\ ... &... &... &... \\ a_{j1} &a_{j2} &... &a_{jn} \\ ... &... &... &... \\ a_{n1} &a_{n2} &... &a_{nn} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... \\ a_{i1}+ka_{j1} &a_{i2}+a_{j2} &... &a_{in}+a_{jn} \\ ... &... &... &... \\ a_{j1} &a_{j2} &... &a_{jn} \\ ... &... &... &... \\ a_{n1} &a_{n2} &... &a_{nn} \\ \end{vmatrix} \end{array} $$

行列式按行按列展开

余子式

$$ \begin{array}{c} 对一个n阶的行列式M，去掉M的第i行第j列后形成的n−1阶的行列式\\叫做M关于元素m_{ij}的\mathbf{余子式}，记作M_{ij}。\\ M_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} &... &a_{1(j-1)} &a_{1(j+1)} &... &a_{1n} \\ ... &... &... &... &... &... \\ a_{(i-1)1} &... &a_{(i-1)(j-1)} &a_{(i-1)(j+1)} &... &a_{(i-1)n} \\ a_{(i+1)1} &... &a_{(i+1)(j-1)} &a_{(i+1)(j+1)} &... &a_{(i+1)n} \\ ... &... &... &... &... &... \\ a_{nn} &... &a_{n(j-1)} &a_{n(j+1)} &... &a_{nn} \end{vmatrix} \end{array} $$

代数余子式

$$ M关于元素m_{ij}的\mathbf{代数余子式}记作C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} $$

一个n阶的行列式M可以写成一行（或一列）的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行（或一列）的展开。

$$ \begin{array}{c} det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}C_{ij}\\ det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}C_{ij} \end{array} $$

这个公式又称拉普拉斯(Laplace)公式(拉普拉斯展开)，把n维矩阵的行列式计算变为了n个n−1。

克莱姆法则 Cramer's law

有了n阶行列式我们就可以使用Cramer法则去计算一个非奇异线性方程组(方程个数与未知数个数相等且系数行列式非零的线性方程组)

对于如下方程组

$$ \begin{array}{c} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_x+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_x+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ \qquad \qquad \qquad ..... \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_x+...+a_{nn}x_n=b_n \end{cases}\\ 其中det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &...\\ a_{n1} &a_{n2} &... &a_{nn} \\ \end{vmatrix}\ne 0 \end{array} $$

克莱姆法则说明：

$$ \begin{array}{c} det(A)≠0，那么方程组的x_i=\frac{|A_i|}{|A|}\\ |A_{i}|是|A|的第i列a_{1i},a_{2i},...,a_{ni}替换为b_1,b_2,...,b_n后得到的行列式。 \end{array} $$

基本线性代数